I. Matrizes

Definição: Uma matriz m por n é uma função de N_m × N_n em R, em que N_m={1,...,m}, N_n={1,...,n} e R são os números reais.

A:N_m × N_n -> R

Essa definição pode ser extendida depois para usar números complexos em vez de reais, ou mesmo outros tipos de conjuntos, mas isso não será feito aqui.

Exemplo: a matriz A_{2x2} é definida por A(1,1)=5, A(1,2)=3, A(2,1)=9, A(2,2)=7.

Os elementos obtidos ao fixar um i na primeira entrada e variar a segunda entrada de 1 a n: A(i,1), A(i,2), ..., A(i,n), são chamados de i-ésima linha da matriz A.

Os elementos obtidos ao fixar um j na segunda entrada e variar a primeira entrada de 1 a m: A(1,j), A(2,j), ..., A(m,j), são chamados de j-ésima coluna da matriz A.

Assim, é natural representarmos matrizes da forma retangular. Por exemplo, a matriz A dada anteriormente é representada por

A=[5 3
      9 7]


Igualdade
Duas matrizes A e B são iguais se têm o mesmo tamanho e A(i,j)=B(i,j) para i=1,...,m , para j=1,...,n.

Tipos de matrizes:

Matriz quadrada
Definição: Uma matriz m por n é dita quadrada se m=n.
Exemplo:
[1 2
 3 4]

[6 5 4
 7 8 2
 1 3 9 ]

Matriz simétrica
Definição: Uma matriz A é dita simétrica se for quadrada e para todo i em N_n, j em N_n temos A(i,j)=A(j,i).
Exemplo:
[3 7
 7 12]

[1 2 3
 2 4 5
 3 5 6]

Note que nas matrizes simétricas a diagonal pode conter qualquer coisa.

Matriz diagonal
Definição: Uma matriz A, quadrada (n por n), é dita diagonal se A(i,j)=0 sempre que i=/=j. (Caso i=j, A(i,j) pode ser 0 ou não.)
Exemplo:
[2 0
 0 3]

Matriz linha
Definição: Uma matriz m por n é dita ser uma matriz linha se m=1.
Exemplo: A=[4 -3 2]_{1x3}

Matriz coluna
Definição: Uma matriz m por n é dita ser uma matriz coluna se n=1.
Exemplo:
A=[4
     -3
     1]_{3x1}

(Em construção)
Falta definir: Matriz nula, matriz identidade, matriz triangular superior/inferior, matriz antissimétrica.