IV. Espaços vetoriais

Espaços vetoriais
São conjuntos não vazios com duas operações, soma e multiplicação por escalar, que satisfazem oito axiomas:




S1: u+(v+w)=(u+v)+w
S2: u+v = v+u
S3: existe 0 tal que u+0=u para todo u em V
S4: para todo u em V existe -u tal que u+(-u)=0
M1: α(u+v)=αu+αv
M2: (α+β)u=αu+βu
M3: α(βu)=(αβ)u
M4: 1u = u para todo u em V


(Exemplos: ...)




Subespaços vetoriais
São subconjuntos não vazios de espaços vetoriais com as seguintes propriedades (W contido em V):


(i) Se u está em W e v está em W então u+v está em W.
(ii) Se u está em W e α está nos reais então αu está em W.


(Exemplos: ...)




Proposições
Seja V um espaço vetorial, então
1) Se u + v = u + w então v = w.
2) 0v=0 para todo v em V
3) (-1)u = -u


De (ii) e (2) concluímos que todo subespaço vetorial contém o 0, pois 0 está nos reais, W é não vazio e então 0w=0 pertence a W.


Proposição
Em um espaço vetorial, o "zero" e o "-u" (para um dado u) são únicos.

Combinação linear

Dependência e independência linear

Base

Uma base β={v1,...,vn} é tal que o span β = V e os vetores de β são linearmente independentes.

Matriz mudança de base

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