Olha como é simples refletir um vetor no plano por uma reta qualquer

por Leal e Bom Qua Nov 30, 2022 2:32 am

Digamos que a reta pela qual quero refletir o vetor é y=3x.

Essa reta é o span do vetor (1,3), pois o gráfico dela é = {(x,y) / y=3x} = {(x,3x)/ x em R} = { x(1,3) / x em R} = span{(1,3)}

Então eu extraio o vetor (1,3) dela e um vetor ortogonal, (1,-1/3). (Fiz de cabeça, mas a fórmula de ortogonalidade é ax+by=0, ou nesse caso x+3y=0. Fixando x=1 obtemos y=-1/3.)

E agora eu uso esses dois vetores para criar uma transformação linear:

T(1,3) = (1,3)
T(1,-1/3) = (-1,1/3)

Resolvo o sistema:
(x,y) = a(1,3) + b(1,-1/3)

a+b=x => 3a+3b=3x
3a-b/3=y => 3b+b/3=10b/3=3x-y => b=(9x-3y)/10
=> a=x-b=x+(3y-9x)/10=(x+3y)/10

E finalmente monto a transformação linear:

T(x,y) = T( (x+3y)/10 (1,3) + (9x-3y)/10 (1,-1/3) ) = (x+3y)/10 T(1,3) + (9x-3y)/10 T(1,-1/3) = (x+3y)/10 (1,3) + (9x-3y)/10 (-1,1/3) = (1/10) ( (x+3y, 3x+9y) + (-9x+3y, 3x-y) ) = (1/10) (-8x+6y, 6x+8y) = ((-4x+3y)/5, (3x+4y)/5)

Ta da! Essa transformação linear, T(x,y) = ((-4x+3y)/5, (3x+4y)/5), reflete vetores no plano em torno da reta y=3x.

Ex:
T(1,3)=(1,3)
T(3,-1)=(-3,1)
T(2,2)=(-2/5, 14/5)
T(-10, 3)=(49/5, -18/5)

Plotando isso tudo no plano pela assistência de programas de computador é fácil ver que essa transformação linear de fato reflete vetores em torno da reta y=3x:

https://www.wolframalpha.com/input?i=vectors+%281%2C3%29+%283%2C-1%29+%28-3%2C1%29+%282%2C2%29+%28-2%2F5%2C+14%2F5%29+%28-10%2C3%29+%2849%2F5%2C+-18%2F5%29

Simples, não?
Viva as transformações lineares!