Aula 4
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Aula 4
por Leal e Bom Sex Mar 17, 2023 11:23 am
Teorema: Seja V um espaço vetorial e {v_1, ... , v_n} ⊆ V, com <v_i, v_j> = 0 para i=/=j, i=1,...,n, j=1,...,n e v_i =/= 0 para todo i=1,...,n. Então {v_1, ... , v_n} é l.i..
Demonstração: Seja α_1 v_1 + ... + α_n v_n = 0. Então, para todo i=1,...,n ,
<α_1 v_1 + ... + α_n v_n, v_i> = <0, v_i> = 0.
Isto é,
α_1 <v_1, v_i> + ... + α_i <v_i, v_i> + ... + α_n <v_n, v_i> = 0.
Como para todo i=/=j temos <v_i, v_j> = 0, resta apenas que
α_i <v_i, v_i> = 0.
Mas, como v_i =/= 0, temos <v_i, v_i> =/= 0 e portanto α_i = 0.
Isso para todos os is.
Supomos que α_1 v_1 + ... + α_n v_n = 0 e concluímos que α_1=α_2=...=α_n=0.
Portanto, {v_1, ... , v_n} é l.i..
Demonstração: Seja α_1 v_1 + ... + α_n v_n = 0. Então, para todo i=1,...,n ,
<α_1 v_1 + ... + α_n v_n, v_i> = <0, v_i> = 0.
Isto é,
α_1 <v_1, v_i> + ... + α_i <v_i, v_i> + ... + α_n <v_n, v_i> = 0.
Como para todo i=/=j temos <v_i, v_j> = 0, resta apenas que
α_i <v_i, v_i> = 0.
Mas, como v_i =/= 0, temos <v_i, v_i> =/= 0 e portanto α_i = 0.
Isso para todos os is.
Supomos que α_1 v_1 + ... + α_n v_n = 0 e concluímos que α_1=α_2=...=α_n=0.
Portanto, {v_1, ... , v_n} é l.i..
Leal e Bom- Mensagens : 60
Data de inscrição : 29/05/2020
Re: Aula 4
por Leal e Bom Sex Mar 17, 2023 11:32 am
Definição: Seja V um espaço vetorial e {v_1, ... , v_n} ⊆ V. Dizemos que {v_1, ... , v_n} é ortogonal se para i=/=j vale que <v_i, v_j> = 0. Dizemos que {v_1, ... , v_n} é ortonormal se { <v_i, v_j> = 0 se i=/=j ; <v_i, v_j> = 1 se i=j }.
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