Geometria Espacial

Conceitos primitivos: pontos, retas, planos e espaço.

A geometria espacial extende a geometria plana (vista em Geometria Quantitativa I), quer dizer, quando dois objetos pertencem a um mesmo plano os axiomas e resultados já vistos da geometria plana continuam valendo para eles, mas para tratarmos dos casos em que isso não necessariamente ocorre e também para determinarmos quando ocorre precisamos de novos axiomas e resultados que se aplicam ao espaço. Diversas vezes reduziremos um problema de geometria espacial a um problema de geometria plana para usarmos o que já sabemos.

São 7 axiomas no total.

Axioma 1) Por dois pontos (distintos) no espaço passa uma única reta
Axioma 2) Por três pontos não colineares no espaço passa um único plano
Axioma 3) Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um dado plano, então essa reta está contida nesse plano
Axioma 4) Dados um plano e uma reta contida no plano, há pontos que estão no plano e não estão na reta
Axioma 5) Para todo plano no espaço há pontos no espaço que não estão nesse plano

Com esses axiomas já podemos provar algumas proposições

Proposição 1: Uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano no espaço no qual estão ambos contidos
Demonstração: Seja r uma reta e P um ponto fora dela. Considere Q e R dois pontos sobre r. Pelo axioma 2, P, Q e R, que não são colineares pois P está fora de r, determinam um único plano que os contém. Seja π esse plano. Então P pertence a π e, Q e R, pontos de r, pertencem a π, e assim, pelo axioma 3, r está contida em π.

Proposição 2: Duas retas concorrentes são coplanares (estão contidas em um mesmo plano).
Demonstração: Sejam r e s retas concorrentes e seja P o ponto de intersecção delas. Considere R um ponto distinto de P sobre r e S um ponto distinto de P sobre s. R não pode estar em s, pois, caso contrário, pelo axioma 1 r e s seriam a mesma reta. Analogamente, S não pode estar sobre r. Segue que P, R e S são não colineares e pelo axioma 2 determinam um único plano π que passa por eles. Como P e R estão em π e P e R estão em r, então, pelo axioma 3, r está contida em π. Da mesma forma, como P e S estão em π  e P e S estão em s, s está contida em π. Assim, r e s são coplanares, ambas contidas em π.

Para falarmos agora de retas paralelas precisamos notar que no espaço a condição de que duas retas não se intersectam não é suficiente para caracterizar retas paralelas.

Definição: Duas retas r e s no espaço são ditas paralelas se são coplanares e não se intersectam (não possuem ponto em comum).

Axioma 6) Dados uma reta e um ponto fora dela existe uma única reta paralela àquela pelo ponto

(Continua...)

-Axiomas
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-Projeções Ortogonais
-Distância
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