I. Sequências e limites de sequências

I.

Def: Uma sequência é uma função de N em R. (Aqui N é entendido como os inteiros positivos.)

Notação: (x_n).
Exemplo: (n/(n+1)) = (1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ...)

Uma sequência tem primeiro, segundo, terceiro termo, etc. 
Se estamos falando de (x_n), o primeiro termo é x_1, o segundo termo é x_2, etc.
Exemplo: para a sequéncia (2n), o primeiro termo é 2, o segundo termo é 4, o terceiro termo é 6, etc.

Def: Uma sequência (x_n) é dita limitada se existe constante C em R tal que, para todo n em N, |x_n| < C. (Óbviamente C será positivo.)

Exemplo: Demonstre que (1/n) é limitada.
Dem: 1/n <= 1, pois n>=1, pois n é natural. 1/n>=0, pois n é positivo, pois n é natural. Assim, -1<= 0<= 1/n <= 1 e |1/n| <= 1. 

Se quisermos ser pedantes podemos dizer que 2>1 e assim |1/n| < 2, para concordar com a definição. Mas dá na mesma, pois se existe D tal que, para todo n em N, |x_n|<=D então segue que existe C=D+1 tal que, para todo n em N, |x_n|<C.

Def: Se uma sequência não é limitada dizemos que ela é ilimitada. Isto é, uma sequência é dita ilimitada se não existe constante C tal que, para todo n em N, |x_n|<C.

Exemplo: Demonstre que (2n) é ilimitada.
Dem: Seja C>0 qualquer (fixo). Como n é positivo, 2n é positivo e |2n|=2n. Suponha que, para todo n em N, 2n<C. Então, para todo n em N, n<C/2. Ou seja, o conjunto dos naturais é limitado superiormente. Absurdo. Portanto, não existe C tal que para todo n em N |2n|<C. Portanto, (2n) é ilimitada. (Ou melhor, para dar mais informação, ela não é limitada superiormente. Tenho que melhorar essa terminologia.)