Resumo do conteúdo da P2 de Cálculo II

Conteúdo: Séries

Uma série é uma "soma infinita", Σ_{n=1}^∞ a_n, em que a_n é uma função dos naturais nos reais.

Podemos tentar obter uma expressão para as somas parciais da série e então tomar o limite da soma parcial quando n vai a infinito para determinar se a série converge ou diverge (e, se converge, para qual valor).

s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n

Σ_{n=1}^∞ a_n = lim_{n->∞} s_n

Nos exemplos isso é feito para a série da progressão geométrica e para a série harmônica.

Séries Telescópicas


Teste da integral
Se extendemos o domínio de a_n para os reais (possível quando a_n é uma expressão e não uma fórmula recursiva) e fazemos f(x)=a(x), o teste da integral nos diz que 

∫_{x=1}^oo f(x)dx converge <=> Σ_{n=1}^oo a_n converge

No exemplo mostramos que as chamadas séries p convergem para p>1 e divergem para p<=1 (séries da forma Σ 1/n^p).

Limite do termo da série (condição necessária)

Para Σ a_n convergir é necessário que lim_{n->oo} a_n = 0.

Teste da comparação

Se Σ a_n e Σ b_n são séries de termos positivos então:
(i) Se a_n<b_n para todo n e Σ b_n converge, então Σ a_n converge;
(ii) Se b_n<a_n para todo n e Σ b_n diverge, então Σ a_n diverge.

Teste da Comparação do Limite

Se lim a_n/b_n = c > 0, então ou Σ a_n e Σ b_n ambos convergem ou ambos divergem.


Séries Alternadas

Critério da Série Alternada

Se Σ a_n é uma série alternada e
(i) |a_n| é decrescente
(ii) lim {n->oo} a_n = 0
então essa série converge.

Convergência absoluta

Uma série Σ a_n é dita absolutamente convergente se Σ |a_n| converge.

Teorema: Se Σ a_n converge absolutamente então  Σ a_n converge.


Teste da Razão

(a) lim_{n->oo} |a_{n+1}/a_n| < 1 => Σ a_n converge absolutamente
(b) lim_{n->oo} |a_{n+1}/a_n| > 1 =>  Σ a_n diverge

Séries de Potência

(Em construção.)